圆X^2+Y^2+2X+4Y—3=0上到直线X+Y+1=0的距离为根号2的点有几个？？

有三个。
先化圆为标准方程：(x+1)2+(y+2)2=8=(2√2)^2
得到圆心坐标为（-1，-2），知圆半径为r=2√2

再用点到距离的公式求出圆心到直线的距离为√2，
画个简图可知，直线与圆相交，所以，直线一侧的最大距离为（半径2√2-√2）=根号2，为所求得一条；
直线的另一侧圆上的点到直线的最大距离为（2√2 +√2）=3√2，它大于√2，所以有两条距离为√2的直线。
综上，共有3个点。
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/21417391.html?fr=qrl3